Ученые и философы с давних времен развлекали себя внутренне противоречивыми утверждениями, которые крайне сложно объяснить. Сайт IFLScience выбрал из 200 существующих математических и логических парадоксов несколько самых знаменитых.

Дихотомия Зенона

Изображение: pixabay.com
Изображение: pixabay.com

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути. А чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнется.

Древнегреческий философ Зенон Элейский так доказывал, что утверждение о непрерывности и неограниченной делимости времени и пространства имеет логические трудности.

Стрела Зенона

Фото: Евгений Ерчак, TUT.BY
Фото: Евгений Ерчак, TUT.BY

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится. Поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение.

Это еще одна апория Зенона Элейского, в которой он отрицал мыслимость движения. С этого парадокса началась долгая дискуссия о природе времени, которая не завершилась до наших дней.

Корабль Тесея

Кадр из фильма "Война богов: Бессмертные"
Кадр из фильма «Война богов: Бессмертные»

Если все составные части исходного объекта были заменены, остается ли объект тем же объектом?

Этот парадокс описал Плутарх — древнегреческий писатель и философ. Корабль, на котором Тесей вернулся с Крита в Афины, хранили несколько сотен лет и каждый год отправляли со священным посольством на Делос. При починке в нем постепенно заменяли доски, пока среди философов не возник спор, тот ли это еще корабль, или уже другой, новый?

Парадокс всемогущества

Фрагмент фрески Рафаэля "Сотворение мира"
Фрагмент фрески Рафаэля «Сотворение мира»

Сможет ли всемогущее существо создать камень, который не сможет поднять?

Если да — то оно не сможет поднять камень и перестанет быть всемогущим. Если нет — значит, оно и не было всемогущим. Иногда этот парадокс используют как доказательство невозможности существования Бога, однако богословы утверждают, что представление о беспредельном всемогуществе, пренебрегающем законами логики, чуждо ортодоксальному христианству.

Парадокс маляра

Фигуру с бесконечной площадью поверхности можно окрасить конечным количеством краски.

В англоязычной литературе этот парадокс называют «горн Гавриила». Представьте бесконечную ступенчатую пластинку, которая состоит из прямоугольников. Первый из прямоугольников — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5×2 см, а каждый следующий вдвое у́же и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см², а общая площадь пластинки бесконечна.

Изображение: wikipedia.org
Бесконечная пластинка и тело, образованное ее вращением. Изображение: wikipedia.org

Если вращать пластинку вокруг ее прямого края, получится объемная фигура, состоящая из цилиндров. Используя вычисления, можно подсчитать, что ее объем будет равен 2π см3. Это значит, что ее можно заполнить конечным количеством краски. Если погрузить в сосуд эту бесконечную пластинку, получится, что она окрашена конечным количеством краски с двух сторон.

Парадокс Греллинга — Нельсона

Фото: pixabay.com
Фото: pixabay.com

Представьте, что в языке появилось два новых класса — автологичные и гетерологичные прилагательные. Каждое прилагательное принадлежит к одному из этих классов. Автологичные — это прилагательные, которые описывают себя. Например, прилагательное «русское» — русское, «многосложное» — многосложное, а «пятисложное» — пятисложное.

Гетерологичные прилагательные себя не описывают. Например, «новое» не является новым, «горячее» — горячим, а «английское» — английским.

Вопрос: к какой из двух групп относится само прилагательное «гетерологичный»? Если оно автологичное, то должно обладать обозначаемым свойством и быть гетерологичным. Если же оно гетерологичное, то свойства из названия у него быть не должно — значит, оно не может быть гетерологичным.

«Уловка-22»

Кадр из фильма "Уловка-22".
Кадр из фильма «Уловка-22»

Человек, который является сумасшедшим, может быть освобожден от выполнения боевого долга по его просьбе. Однако всякий, кто пытается уклониться от выполнения боевого долга, не является подлинно сумасшедшим.

Парадокс, который стал названием одноименных книги и фильма, оказался хорошим примером внутренне противоречивых ситуаций — в том числе и на воинской службе.

Парадокс интересных чисел

Изображение: esquire.ru
Изображение: esquire.ru

1 — первое ненулевое натуральное число, 2 — наименьшее простое число, 3 — первое нечетное простое число, 4 — наименьшее составное число… Если попытаться разделить все натуральные числа на «интересные» и «неинтересные», окажется, что все натуральные числа — интересные. Ведь если существует непустое множество неинтересных натуральных чисел, то в этом множестве есть наименьшее число. А наименьшее неинтересное число уже само по себе интересно — и это создает противоречие.

Парадокс пьяницы

Фото: Reuters
Фото: Reuters

Парадокс из области формальной логики утверждает, что в любом баре существует по крайней мере один такой человек, для которого верно, что если он пьет, то пьют все.

Допустим, в баре пьют все. Тогда для любого посетителя верно утверждение, что если пьет он, то пьют и все. Если же неверно, что в кабаке пьют все, тогда в кабаке существует по крайней мере один человек, который не пьет. Поскольку неверно, что он пьет, то верно, что если он пьет, то пьют все.

Парадокс дней рождения

Изображение: theatlantic.com
Изображение: theatlantic.com

В группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) хотя бы у двух людей превышает 50%. То есть более вероятно, что у каких-то двоих дни рождения совпадут, чем то, что у каждого будет своя неповторимая дата.

Интуитивно может показаться, что шансы на совпадение дней рождения крайне низкие. Однако нужно учитывать, что речь идет про вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе. Эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть (23×22) / 2 = 253 пары.

Если в комнате только два человека, то шанс, что их дни рождения совпадают, — 1/365 (для невисокосных лет), а шанс, что не совпадают, — 364/365. Для группы из трех человек вероятность того, что все дни рождения разные считается так: 364/365×363/365. Чем больше группа, тем меньше шанс на уникальность каждого, для группы из 23 человек, вероятность станет ниже 50%.

Парадокс дружбы

Простой социальный граф с наблюдаемым парадоксом дружбы: почти у всех (кроме Jose и Jane) друзей меньше, чем в среднем у их друзей. Изображение: wikipedia.org
Простой социальный граф с наблюдаемым парадоксом дружбы: почти у всех (кроме Jose и Jane) друзей меньше, чем в среднем у их друзей. Изображение: wikipedia.org

У большинства людей друзей меньше, чем в среднем у их друзей.

Несмотря на видимую парадоксальность утверждения, оно вполне математически логично и выводится из базовых принципов теории графов. В 2012 году это утверждение подтвердили исследователями Корнеллского университета, которые проанализировали 721 миллион пользователей Facebook.

Причинно-следственная петля

Кадр из фильма "Назад в будущее 2"
Кадр из фильма «Назад в будущее 2»

Физика, работающего над изобретением машины времени, посещает старшая версия его самого и отдает ему чертежи машины времени. Младшая версия использует эти планы для создания машины времени, а после становится старше и возвращается в прошлое, чтобы передать чертежи самому себе.

Путешествия во времени, если они возможны, таят в себе немало парадоксов. Эта ситуация не дает ответа на вопрос: откуда взялись чертежи?

Читайте также:

Шесть задач, за решение которых заплатят миллион долларов

{banner_819}{banner_825}
-10%
-23%
-40%
-10%
-15%
-50%
-30%
-10%
-10%
-99%
-20%