опубликовано: 
обновлено: 

Популяризатор математики Алекс Беллос опубликовал в The Guardian две головоломки, связанные с числом 11 и другими палиндромами. Сможете их разгадать?

Фото: Chris Liverani / Unsplash
Фото: Chris Liverani / Unsplash
  1. Докажите, что все четные числовые палиндромы (натуральные числа с четным количеством знаков, которые читаются слева направо и справа налево одинаково) делятся на 11.
  2. В деревне живет больше 100 человек. Докажите, что среди жителей есть 11 человек, сумма возрастов которых делится на 11.

Решение

Задача 1. Приведем пример. Возьмем шестизначный палиндром – мы можем записать его как XYZZYX. Мы можем записать его как
(100001)*X+(10010)*Y+(1100)*Z.

Данное выражение легко преобразовать в
(100001)*X+(1001)*10*Y+(11)*100*Z.

Если каждое слагаемое этой суммы будет делиться на 11, то и вся сумма тоже будет делиться на 11. Соответственно, нам осталось только доказать, что 100001, 1001 и 11 делятся на 11. С последним числом все получается, согласитесь, довольно легко. Остались два первых.

Итак, если из 1001 вычесть 11, мы получим 990, и ясно видно, что это число представляет собой произведение 90 и 11. Так как очевидно, что оно делится на 11, то и 1001 совершенно точно делится на 11.

Так же мы поступим и с 100001 – если мы вычтем из него 11, то получится 99990, то есть (9*11*1000)+(9*11*10). Оба слагаемых делятся на 11, так что и сумма делится на 11. То же можно сказать и про 100001.

В результате мы имеем, что любое число, записанное в форме 100…001, в котором число нулей четное, делится на 11. Поэтому не только наш условный шестизначный числовой палиндром, но и вообще любой четный числовой палиндром делится на 11 – действуя по формуле выше, мы сможем преобразовать каждый из них в число, кратное числу 100…001 с четным числом нулей. И со всей очевидностью он будет делиться на 11.

Задача 2. Здесь уместно вспомнить, что сумма чисел от 1 до 10 делится на 11.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55. 55/11=5.

Если в деревне проживает не менее 101 человека, то мы сможем разделить возраст каждого на 11 и разбить жителей по группам в зависимости от остатка от деления их возраста на 11. Если остаток равен 0, человек попадает в первую группу, если 1, то во вторую и так далее. Всего у нас будет не более 11 групп.

Возможно, одна группа состоит из 11 или более человек. Но, если это не так, в любом случае в каждой группе будет хотя бы один человек. Если ни в одной группе нет 11 и более участников, то в каждой из них будет не более 10 человек, так как чисто физически невозможно разделить 101 человека на 11 групп более чем с 10 членами в каждой.

Если в одной группе будет 11 или более человек, то можно взять 11 человек из этой группы, и их возраст будет делиться на 11. Если такой не найдется, мы берем по одному человеку из каждых 11 групп, и сумма остатков от деления их возраста на 11 будет равна 55, что также будет делиться на 11.

Соответственно, сумма их возрастов не может не делиться на 11.

{banner_819}{banner_825}
-45%
-10%
-16%
-47%
-80%
-35%
-15%